Также по теме

ГЕОМЕТРИИ ОБЗОР

ГЕОМЕТРИИ ОБЗОР. Геометрия – раздел математики, тесно связанный с понятием пространства; в зависимости от форм описания этого понятия возникают различные виды геометрии. Предполагается, что читатель, приступая к чтению этой статьи, обладает некоторыми представлениями об элементарной геометрии, а также о законах арифметики и алгебры.

Первый важный вопрос: как описать наше понятие пространства? В поисках ответа перед нами открывается несколько возможностей, но проще, а возможно, естественнее и полезнее воспользоваться для этого понятиями «точка» и «прямая». Оба они коренятся в процессе визуального восприятия. Точку можно мысленно представлять как «точку зрения», из которой ведется наблюдение, а прямую, определяемую двумя объектами, считать состоящей из множества точек зрения, при наблюдении из которых один объект заслоняет другой. При таком подходе вводится понятие «прямизны», которое воплощается в термине «прямая линия» (или просто «прямая»). Можно считать, что мы абстрагировали понятия «точка» и «прямая» из окружающего мира. В нашем повседневном опыте коренится еще одно представление – о расстоянии АВ между точками А и В. (Мы говорим также о «длине» отрезка АВ.) О расстоянии мы судим, сравнивая его с некоторым эталоном. Одна из возможных единиц длины – метр; изготовив копии с эталона метра, мы сравниваем расстояния и говорим, что расстояние АВ больше (>), равно (=) или меньше (<) некоторого другого расстояния CD.

Выбрав какую-либо прямую АВ и точку С, не лежащую на этой прямой, мы можем мысленно представить себе совокупность всех прямых, проходящих через точку С и различные точки прямой АВ. Все эти прямые лежат в плоскости АВС, определяемой точками А, В, С. Это обстоятельство вынуждает нас рассматривать понятие расстояния в более широком контексте; в частности, на плоскости АВС нас могут интересовать точки Р, находящиеся на постоянном расстоянии r от точки С. Тут уместно ввести понятие вращения вокруг точки С и сказать, что все такие точки лежат на «окружности» радиуса r с центром в точке С. Физически мы можем представить себе веревку длиной r, один конец которой закреплен в точке С; туго натянув веревку и вращая ее вокруг точки С, мы опишем другим концом окружность радиуса r, лежащую в плоскости АВС. Из нашего опыта мы знаем, что если радиус достаточно велик, то окружность пересечет прямую АВ в двух точках Р1 и Р2. Если мы начнем поворачивать отрезки Р1С и Р2С вокруг точек Р1 и Р2, то, как известно, найдется такая точка Сў, что P1C = P1Cў и P2C = P2Cў; будем говорить, что прямая ССў «перпендикулярна» прямой АВ (рис. 1). Нет сомнения в том, что ССў пересечет АВ в некоторой точке D; все углы между АВ и CD мы назовем «прямыми углами», а длину d перпендикулярна CD – «расстоянием» от точки С до прямой АВ. Таким образом, мы получим практический способ построения перпендикуляра, «опущенного» из точки С на прямую АВ, и деления отрезка пополам (P1D = DP2).

      Рис. 1. ТЕОРЕМА ПИФАГОРА утверждает, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: (P1C)2 = (P1D)2 + (DC)2.

Греческая геометрия.

Все эти исследования геометрических отношений в окружающем их мире были сделаны обитателями древних цивилизаций до 4 в. до н.э., когда Евклид свел накопленные к тому времени математические знания в стройную логическую систему. Сейчас практически невозможно сказать, кому принадлежит та или иная теорема в Началах Евклида или кто сделал первый шаг по пути математического открытия. Однако есть исключения. Здесь имеется в виду прежде всего имя Пифагора, который в 6 в. до н.э. заметил, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей, построенных на его катетах. На рис. 1 (P1C)2 = (P1D)2 + (DC)2. Отсюда следует, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Начала Евклида начинаются с определений и аксиом, затем идут пять постулатов, из которых первые четыре утверждают: между любыми двумя точками можно провести прямую; любую прямую можно продолжить бесконечно; из всякого центра любым радиусом можно описать окружность; все прямые углы равны между собой. Ретроспективно постичь эти идеи не так уж трудно. Однако осознать их в качестве свойств нашего понятия пространства и абстрагировать таким образом, чтобы их можно было организовать в непротиворечивую систему, непросто; это явилось в свое время одним из величайших достижений человечества. Изложение Евклида было не лишено недостатков, о которых у нас пойдет речь ниже, но дерзость, с которой он осуществил свой замысел, не может не восхищать. В частности, столкнувшись с проблемой определения природы геометрического места точек плоскости р, находящихся на заданном расстоянии d от прямой l, лежащей в плоскости р, Евклид принял формальное предположение – пятый постулат (постулат о параллельных). Согласно этому постулату, если точка Р, принадлежащая плоскости р, не лежит на прямой l, лежащей в плоскости р, то существует только одна прямая l ў в р, проходящая через точку Р, такая, что каждая точка прямой l ў находится на одном и том же расстоянии d от прямой l; говорят, что l ў «параллельна» l (рис. 2). Пятый постулат расходится с наблюдениями внешнего мира: обычно нам кажется, что параллельные прямые (например, железнодорожные рельсы) сходятся на горизонте. К этому вопросу мы в дальнейшем еще вернемся.

      Рис. 2. ПЯТЫЙ ПОСТУЛАТ ЕВКЛИДА.

Начала Евклида состояли из 13 книг, в которых систематически изложены математические знания его времени относительно пространственных понятий, включая геометрическое представление рациональных чисел.

Среди тех, кто жил и творил после Евклида, выделяется прежде всего Архимед (ок. 287–212 до н.э.), чьи взгляды на мир были гораздо шире. Для него непременным атрибутом внешнего мира является движение и все, что с ним связано. Архимед заложил основы механики как науки, а также предвосхитил методы интегрального исчисления, которые впоследствии вошли в т.н. математический анализ. Именно Архимеду принадлежит заслуга осознания весьма любопытного факта, составляющего неотъемлемую часть нашего понимания пространства. Мы предполагаем, что можем достичь любой точки на прямой, сделав достаточное число шагов одной и той же длины. Это кажущееся очевидным допущение, ныне известное как аксиома Архимеда, играет важную роль в основаниях геометрии. Ранее в этой связи философ Зенон в 5 в. до н.э. поднял ряд трудных вопросов об истолковании понятий «точка» и «прямая», ставших головной болью философов и математиков вплоть до 19 в. Одна из знаменитых «апорий» (парадоксов) Зенона заключалась в том, что бегун, прежде чем добежать до конца дистанции, должен добежать до ее середины, а до этого – до середины половины дистанции и т.д., т.е. должен побывать в бесконечно многих точках, а сделать это за конечное время невозможно. Таким образом, бегун никогда не добежит до конца дистанции!