Содержание статьи
    Также по теме

    НЬЮТОНА БИНОМ

    НЬЮТОНА БИНОМ, название формулы, позволяющей выписывать разложение алгебраической суммы двух слагаемых произвольной степени. Впервые была предложена Ньютоном в 1664–1665:

    Коэффициенты формулы называются биномиальными коэффициентами. Если n – положительное целое число, то коэффициенты обращаются в нуль при любом r > n, поэтому разложение содержит лишь конечное число членов. Во всех остальных случаях разложение представляет собой бесконечный (биномиальный) ряд. (Условия сходимости биномиального ряда впервые были установлены в начале 19 в. Н.Абелем.) Такие частные случаи, как (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 и (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 были известны задолго до Ньютона.

    Если n – положительное целое число, то биномиальный коэффициент при anrbr в формуле бинома есть число комбинаций из n по r, обозначаемое Crn или (nr). При небольших значениях n коэффициенты можно найти из треугольника Паскаля:

    n = 0        

    1

           
    n = 1      

    1

     

    1

         
    n = 2    

    1

     

    2

     

    1

       
    n = 3  

    1

     

    3

     

    3

     

    1

     
    n = 4

    1

     

    4

     

    6

     

    4

     

    1

    и т.д.

    и т.д.,

    в котором каждое из чисел за исключением единиц равно сумме двух соседних чисел, стоящих строкой выше. Для данного n соответствующая (n-я) строка треугольника Паскаля дает по порядку коэффициенты биномиального разложения n-й степени, в чем нетрудно убедиться при n = 2 и n = 3.
    См. также ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕОРИЯ; РЯДЫ.