АНАЛИЗ В МАТЕМАТИКЕ

Содержание статьи

• Анализ.
• Синтез.

АНАЛИЗ В МАТЕМАТИКЕ, термин, используемый в различных смыслах. В первоначальном значении в древнегреческой математике анализом называли первую половину метода (вторую половину называли синтезом), с помощью которого устанавливали истинность или ложность утверждения или решали задачу. Сущность анализа сводится к следующему. Требуется проверить справедливость утверждения P₁; из P₁ следует утверждение P₂, из P₂ следует утверждение P₃ и т.д. Если, продолжая эту процедуру, мы приходим к утверждению P_n, которое противоречит известной истине, то утверждение P₁ ложно. Если же мы приходим к утверждению P_n, относительно которого известно, что оно истинно, и ход рассуждений может быть повторен в обратном направлении от P_n к P₁, то утверждение P₁ истинно. Например, рассматривая неравенство

где a и b – различные положительные числа, можно рассуждать следующим образом.

Анализ.

Если неравенство (1) выполняется, то

Если неравенство (2) верно, то

т.е.

Но неравенство (4) истинно, так как a № b.

Синтез.

Из неравенства (4) следует (3), из (3) следует (2), из (2) следует (1). Значит, поскольку (4) истинно, неравенство (1) также истинно.

Метод анализа используется для открытия, а метод синтеза – для доказательства. Вместе с тем термины «анализ» и «математический анализ» в настоящее время чаще применяются для обозначения одного из главных разделов математики. В него входят дифференциальное и интегральное исчисления вместе с развившимися из них дисциплинами, такими как теория функций действительного и комплексного переменного, приближения функций, теория дифференциальных и интегральных уравнений, вариационное исчисление, функциональный анализ и т.п. От топологии и геометрии математический анализ отличается использованием алгебраических методов, а от алгебры – использованием таких топологических свойств, как непрерывность. Термин «анализ» используется также и в обыденном смысле, когда речь идет о детальном изучении чего-либо, например, численный анализ (изучение проблем с помощью численных расчетов) или комбинаторный анализ. В геометрии под «аналитикой» принято понимать использование алгебраических методов (см. также АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ). В теории функций комплексного переменного термин «аналитичность» имеет другое значение, присущее только этому разделу математики. См. также МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ; ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ; ФУНКЦИЯ; ФУНКЦИЙ ТЕОРИЯ.