Энциклопедия Кругосвет
Энциклопедия Кругосвет
Универсальная научно-популярная энциклопедия

ИСТОРИЯ и ОБЩЕСТВО

  • Экономика и Право
  • Психология и Педагогика
  • Социология
  • Философия
  • Религия
  • Народы и Языки
  • Государство и Политика
  • Военное дело
  • Археология
  • История
  • Лингвистика

ПУТЕШЕСТВИЯ и ГЕОГРАФИЯ

  • География
  • Геология
  • Страны мира

ИСКУССТВО и КУЛЬТУРА

  • Живопись и Графика
  • Скульптура
  • Архитектура
  • Декоративно-прикладное искусство
  • Дизайн и Фотография
  • Литература
  • Музыка
  • Театр и Кино
  • Эстрада и Цирк
  • Балет

НАУКА и ТЕХНИКА

  • Авиация и Космонавтика
  • Астрономия
  • Биология
  • Военная техника
  • Математика
  • Технология и Промышленность
  • Транспорт и Связь
  • Физика
  • Химия
  • Энергетика и Строительство

ЗДОРОВЬЕ и СПОРТ

  • Медицина
  • Спорт

ЧИСЛОВОЙ РЯД

Содержание статьи
  • Признаки сходимости рядов.
  • Некоторые замечательные ряды.

ЧИСЛОВОЙ РЯД – бесконечная сумма членов бесконечной числовой последовательности {an} называется числовым рядом:

Также по теме:
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

a1 + a2+ a3 + … + an+ … = .

Каждому натуральному n сопоставляется сумма первых n членов последовательности {an}

Также по теме:
ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ

S1 = a1, S2= a1 + a2, …, Sn == a1 + a2 + a3 + … + an, …

Значения Sn называют частичными суммами ряда. Они образуют последовательность {Sn} последовательность частичных сумм (бесконечного) ряда an – общий член ряда.

Если последовательность частичных сумм данного ряда имеет предел S, то есть

,

то ряд сходится и S – его сумма. Записывается это следующим образом:

a1 + a2 + a3 + … + an + … = S, или = S.

В противном случае ряд называют расходящимся.

Таким образом, сумма ряда – это, по определению, предел последовательности его частичных сумм.

Пусть есть геометрическая прогрессия bn = b1qn–1, знаменатель которой q по абсолютной величине меньше единицы (–1 < q < 1). Вычислим сумму первых n членов геометрической прогрессии:

Sn= b1+ b1qn + b1q2 + …+ b1qn–1= .

Очевидно, что при |q| < 1 с ростом n значение qnстремится к нулю. Тогда значение Snстремится к и это число называется суммой всех членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии: b1 + b1qn + b1q2 + …=.

Признаки сходимости рядов.

Необходимый признак сходимости ряда: последовательность членов сходящегося ряда должна стремится к нулю: .

Это условие не является достаточным, как показывает пример ряда .

Для этого ряда выполняется необходимый признак сходимости ряда: , однако, ряд расходится, так как частичные суммы

неограниченно возрастают.

Для выяснения сходимости рядов найдены разнообразные достаточные признаки сходимости или расходимости рядов.

Признак Д'Аламбера: если существует такое положительное c < 1, что начиная с некоторого n, выполняется неравенство

,

то ряд сходится. Если же начиная с некоторого n, выполняется неравенство

,

то ряд расходится. Отсюда, в частности, следует сходимость геометрической прогрессии при знаменателе 0 < q < 1 и расходимость при q і 1.

Признак Коши: если существует такое положительное c < 1, что, начиная с некоторого n, выполняется неравенство:

,

то ряд сходится. Если же, начиная с некоторого n, выполняется неравенство:

,

то ряд расходится.

Особое место среди рядов занимают такие, в которых знаки слагаемых строго чередуются, а абсолютные величины рядов монотонно убывают. Оказывается, для таких рядов необходимый признак сходимости ряда является одновременно и достаточным, т.е., если, то ряд сходится.

Некоторые замечательные ряды.

– гармонический ряд, расходится.

Анна Чугайнова

Также по теме:
Математика

Литература:

Никольский С.М. Элементы математического анализа. М., «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1981
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление, т.1. М., «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1985

 

Проверь себя!
Ответь на вопросы викторины «Математика»
Как звали математика, который в 19 лет решил задачу, не поддававшуюся усилиям лучших геометров со времен Евклида?
Пройти тест
Разделы энциклопедии
-A +A
Проверь свои знания!
Ответь на вопросы викторины

Животные

Пройти тест

Знаменитые речи

Пройти тест

Фобии и страхи

Пройти тест

Философия

Пройти тест
Ещё тесты
  • Тесты
  • Правила
  • Авторы
  • О проекте
  • Реклама
  • Контакты
© 1997-2023 Универсальная научно-популярная энциклопедия Кругосвет