Содержание статьи
    Также по теме

    ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ

    ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ – раздел механики сплошных сред, изучающий перемещения, деформации и напряжения покоящихся или движущихся тел под действием нагрузок. Цель этой теории – вывод математических уравнений, решение которых позволяет ответить на следующие вопросы: каковы будут деформации данного конкретного тела, если к нему приложить в известных местах нагрузки заданной величины? Каковы будут при этом напряжения в теле? Вопрос в том, разрушится ли тело или выдержит эти нагрузки, тесно связан с теорией упругости, но, строго говоря, не входит в компетенцию этой теории.

    Количество возможных примеров безгранично – от определения деформаций и напряжений в балке, лежащей на опорах и нагруженной силами, до расчета тех же величин в конструкции самолета, корабля, подводной лодки, в колесе вагона, в броне при ударе снаряда, в горном массиве при прохождении штольни, в каркасе высотного здания и т.д. Здесь нужно сделать оговорку: конструкции, состоящие из тонкостенных элементов, рассчитывают по упрощенным теориям, логически основанным на теории упругости; к таким теориям относятся: теория сопротивления материалов действию нагрузок (знаменитый «сопромат»), задачей которой, в основном, является расчет стержней и балок; строительная механика – расчет стержневых систем (например, мостов); и, наконец, теория оболочек – по существу, самостоятельная и очень сильно развитая область науки о деформациях и напряжениях, предмет исследования которой – важнейшие элементы конструкций – тонкостенные оболочки – цилиндрические, конические, сфероидальные, и имеющие более сложные формы. Поэтому в теории упругости обычно рассматриваются тела, у которых существенные размеры отличаются не слишком сильно. Таким образом, рассматривается упругое тело заданной формы, на которое действуют известные силы.

    Основными понятиями теории упругости являются напряжения, действующие на малых площадках, которые можно мысленно провести в теле через заданную точку M, деформации малой окрестности точки M и перемещения самой точки M. Точнее говоря, вводятся тензоры напряжений sij, тензор малых деформаций eij и вектор перемещения ui.

    Краткое обозначение sij, где индексы i, j принимают значения 1, 2, 3 следует понимать как матрицу вида:

    Аналогично следует понимать и краткое обозначение тензора eij.

    Если физическая точка тела M вследствие деформации заняла новое положение в пространстве , то вектор перемещения есть вектор с компонентами (uxuyuz), или, сокращенно, ui. В теории малых деформаций компоненты ui и ei считаются малыми величинами (строго говоря, бесконечно малыми). Компоненты тензора eij и вектора uij связаны формулами Коши, которые имеют вид:

    Видно, что exy = eyx, и, вообще говоря, eij = eji, поэтому тензор деформаций является симметричным по определению.

    Если упругое тело под действием внешних сил находится в равновесии (т.е. скорости всех его точек равны нулю), то в равновесии находится и любая часть тела, которую можно мысленно из него выделить. Из тела выделяется маленький (строго говоря, бесконечно малый) прямоугольный параллелепипед, грани которого параллельны координатным плоскостям декартовой системы Oxyz (рис. 1).

          Рис. 1

    Пусть ребра параллелепипеда имеют длины dx, dy, dz соответственно (здесь, как обычно dx есть дифференциал x, и т.д.). Согласно теории напряжений, на гранях параллелепипеда действуют компоненты тензора напряжений, которые обозначаются:

    на грани OADG: sxx, sxy, sxz

    на грани OABC: syx, syy, syz

    на грани DABE: szx, szy, szz

    при этом компоненты с одинаковыми индексами (например sxx) действуют перпендикулярно грани, а с разными индексами – в плоскости площадки.

    На противоположных гранях значения одноименных компонент тензора напряжений немного отличаются, это связано с тем, что они являются функциями координат и изменяются от точки к точке (всегда, кроме известных простейших случаев), а малость изменения связана с малыми размерами параллелепипеда, поэтому можно считать, что если на грани OABC действует напряжение syy, то на грани GDEF действует напряжение syy +dsyy, причем малая величина dsyy именно в силу своей малости может быть определена с помощью разложения в ряд Тейлора:

    (здесь используются частные производные, т.к. компоненты тензора напряжений зависят от x, y, z).

    Аналогично можно выразить напряжения на всех гранях через sij и dsij. Далее, чтобы перейти от напряжений к силам, нужно умножить величину напряжения на площадь той площадки, на которой оно действует (например, syy + dsyy умножить на dx dz). Когда все силы, действующие на параллелепипед, определены, можно, как это делают в статике, записать уравнение равновесия тела, при этом во всех уравнениях для главного вектора останутся только члены с производными, так как сами напряжения взаимно уничтожаются, а множители dx dy dz сокращаются и в результате

    Аналогично получаются уравнения равновесия, выражающие равенство нулю главного момента всех сил, действующих на параллелепипед, которые приводятся к виду:

    Эти равенства означают, что тензор напряжений есть симметричный тензор. Таким образом, для 6 неизвестных компонент sij есть три уравнения равновесия, т.е. уравнений статики недостаточно для решения задачи. Выход из положения состоит в том, чтобы выразить напряжения sij через деформации eij с помощью уравнений закона Гука, а затем деформации eij выразить через перемещения ui с помощью формул Коши, и результат подставить в уравнения равновесия. При этом получается три дифференциальных уравнения равновесия относительно трех неизвестных функций ux uy uz, т.е. число неизвестных равно числу уравнений. Эти уравнения называются уравнениями Ламе

    Здесь:

    не учитываются массовые силы (вес и др.)