Также по теме

РЯДЫ

РЯДЫ. Многие задачи в математике приводят к формулам, содержащим бесконечные суммы, например,

или

Такие суммы называются бесконечными рядами, а их слагаемые – членами ряда. (Многоточие означает, что число слагаемых бесконечно.) Решения сложных математических задач редко удается представить в точном виде посредством формул. Однако в большинстве случаев эти решения можно записать в виде рядов. После того, как такое решение найдено, методы теории рядов позволяют оценить, сколько членов ряда необходимо взять для конкретных вычислений или как записать ответ в наиболее удобном виде. Наряду с числовыми рядами мы можем рассматривать т.н. функциональные ряды, слагаемыми которых являются функции. Многие функции можно представить с помощью функциональных рядов. Изучение числовых и функциональных рядов является важной частью математического анализа.

В примерах (1) и (2) сравнительно легко догадаться, по какому закону образуются последовательные члены. Закон образования членов ряда может быть гораздо менее очевидным. Например, для ряда (3) он станет ясен, если этот ряд записать в следующем виде:

Сходящиеся ряды.

Поскольку сложение бесконечного числа членов ряда физически невозможно, необходимо определить, что именно следует понимать под суммой бесконечного ряда. Можно представить себе, что указанные операции сложения и вычитания выполняются последовательно, одна за другой, например, на компьютере. Если возникающие при этом суммы (частичные суммы) все ближе и ближе подходят к некоторому числу, то это число разумно назвать суммой бесконечного ряда. Таким образом, сумму бесконечного ряда можно определить как предел последовательности частичных сумм. При этом такой ряд называется сходящимся.

Найти сумму ряда (3) нетрудно, если заметить, что преобразованный ряд (4) можно записать в виде

Последовательные частичные суммы ряда (5) равны

и т.д.; можно заметить, что частичные суммы стремятся к 1. Таким образом, этот ряд сходится и его сумма равна 1.

В качестве примера бесконечных рядов можно рассматривать бесконечные десятичные дроби. Так, 0,353535... – это бесконечная периодическая десятичная дробь, являющаяся компактным способом записи ряда

Закон образования последовательных членов здесь понятен. Аналогично, 3,14159265... означает

но закон образования последующих членов ряда здесь неочевиден: цифры образуют десятичное разложение числа p, и трудно сразу сказать, какова, например, 100 000-я цифра, хотя теоретически эту цифру можно вычислить.

Расходящиеся ряды.

О бесконечном ряде, который не сходится, говорят, что он расходится (такой ряд называют расходящимся). Например, ряд

расходится, так как его частичные суммы равны 1/2, 1, 11/2, 2,.... Эти суммы не стремятся ни к какому числу как к пределу, поскольку, взяв достаточно много членов ряда, мы можем сделать частичную сумму сколь угодно большой. Ряд

также расходится, но по другой причине: частичные суммы этого ряда попеременно обращаются то в 1, то в 0 и не стремятся к пределу.

Суммирование.

Найти сумму сходящегося ряда (с заданной точностью), последовательно суммируя его члены, хотя теоретически и возможно, но практически трудно осуществимо. Например, ряд

сходится, и сумма его с точностью до десяти знаков после запятой равна 1,6449340668, но для того, чтобы вычислить ее с этой точностью, потребовалось бы взять ок. 20 млрд. членов. Такие ряды обычно суммируют, первоначально преобразуя их с помощью различных приемов. При этом используют алгебраические или вычислительные методы; например, можно показать, что сумма ряда (8) равна p 2/6.

Обозначения.

Работая с бесконечными рядами, полезно иметь удобные обозначения. Например, конечную сумму ряда (8) можно записать как

Такая запись указывает на то, что n последовательно полагается равным 1, 2, 3, 4 и 5, а результаты складываются:

Аналогично, ряд (4) можно записать в виде

где символ Ґ указывает на то, что мы имеем дело с бесконечным рядом, а не с конечной его частью. Символ S (сигма) называют знаком суммирования.

Бесконечная геометрическая прогрессия.

Мы смогли просуммировать ряд (4), так как существовала простая формула для его частичных сумм. Аналогично, можно найти сумму ряда (2), или в общем виде,

если r принимает значения между –1 и 1. В этом случае сумма ряда (9) равна 1/(1 – r); при других значениях r ряд (9) расходится.

Можно рассматривать периодические десятичные дроби вроде 0,353535... как иной способ записи бесконечной геометрической прогрессии

Это выражение можно записать также в виде

где в скобках стоит ряд (9) с r = 0,01; следовательно, сумма ряда (10) равна

Тем же способом можно представить в виде обычной дроби любую периодическую десятичную дробь.

Признаки сходимости.

В общем случае простой формулы для частичных сумм бесконечного ряда не существует, так что для установления сходимости или расходимости ряда прибегают к специальным методам. Например, если все члены ряда положительны, то можно показать, что ряд сходится, если каждый его член не превосходит соответствующего члена другого ряда, о котором известно, что он сходится. В принятых обозначения это можно записать следующим образом: если an і 0 и сходится, то сходится, если 0 Ј bn Ј an. Например, так как ряд (4) сходится и