Также по теме

АЛГЕБРА

АЛГЕБРА, раздел элементарной математики, в котором арифметические операции производятся над числами, значения которых заранее не заданы. Преимущества алгебраических методов обусловлены использованием достаточно компактных символических систем, что внешне выглядит как самая характерная их черта. Термин «алгебра» применяется также для обозначения более абстрактных областей математики, в которых символы используются сходным образом, но не обязательно представляют числа. См. также АЛГЕБРА АБСТРАКТНАЯ; МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ.

Для представления чисел можно использовать любые символы, но чаще берут буквы латинского алфавита. Если x и y – два числа, то их сумма обозначается x + y, а разность x – y. Так как знак умножения ґ легко спутать с буквой x, в алгебре знак ґ используется редко; обычно произведение чисел x и y обозначается xЧy или просто xy. (Позиционные обозначения, используемые при записи целых чисел и означающие, например, что 23 – это не два умножить на три, а два десятка плюс три единицы, в алгебре не применяются.) Аналогично, если одно из встречающихся в задаче чисел указано явно или заранее известно, например число 2, то сумма двойки и любого не указанного заранее числа x алгебраически записывается в виде 2 + x или x + 2, а их произведение – как 2x. Множитель 2 в произведении 2x называют коэффициентом. Частные, как правило, записывают в виде дробей; допустима запись x ё y, но или x/y встречаются чаще. Символ = означает «равно», символ – «не равно».

Например, пусть x – число, которое, будучи удвоенным, совпадает с самим собой, увеличенным на 3. Чтобы найти x (неизвестное), мы можем рассуждать на словах, как это делали первые математики, но гораздо эффективнее воспользоваться алгебраическими обозначениями. По условиям задачи требуется, чтобы

Такая запись равенства двух чисел называется уравнением. Пользуясь известными из арифметики правилами операций над числами, уравнение можно упростить. Числа 2x и x + 3 равны. Вычитая по x из каждого числа, мы снова получим равные числа, следовательно, x = 3, и задача решена. См. также АРИФМЕТИКА; ЧИСЛО.

Можно действовать другим способом. Перенесем x из правой части уравнения в левую часть с другим знаком, т.е. как -x. В результате получим уравнение

откуда x = 3.

Если два числа равны, будут равны также результаты их умножения на одно и то же число. Отсюда следует правило, согласно которому обе части уравнения можно умножать или делить на одно и то же число, однако запрещается деление на ноль. Например, из уравнения 3x = 6 мы заключаем, что x = 2. С другой стороны, если x = 1 и, следовательно, x – 1 = 0, мы не можем делить на x – 1 обе части уравнения x – 1 = 0, т.к. получим неверный результат 1 = 0.

Символы группировки.

Возможности алгебраических символов раскрываются в полной мере, когда необходимо записать более сложные уравнения. Если требуется изменить порядок выполнения операций, применяют символы группировки членов, главным образом круглые скобки (), квадратные скобки [] и фигурные скобки . В некоторых случаях порядок выполнения операций несуществен, например в выражении 2 + 3 + 4; не важно, прибавим ли мы сначала 2 к 3, а затем результат, равный 5, к 4, или сначала прибавим 3 к 4, а затем полученную сумму, равную 7, прибавим к 2. Объясняется это тем, что сложение чисел подчиняется закону ассоциативности. С другой стороны, смысл выражения 12 ё 2 ё 3 определен неоднозначно: выражение могло бы означать, что 12 следует разделить на 2 (и получить частное, равное 6), а затем полученный результат разделить на 3 и получить 2; или же что 2 следует разделить на 3 (и получить частное, равное 2/3), а затем 12 разделить на 2/3 и получить 18. Чтобы исключить различные толкования, мы можем записать исходное выражение в виде (12 ё 2) ё 3 в первом случае и как 12 ё (2 ё 3) – во втором. Согласно принятому соглашению, операции, указанные в скобках, выполняются первыми.

Смысл выражения определяется также соглашеним о порядке выполнения операций. Например, принято считать, что 2Ч3 + 4 означает 6 + 4, т.е. 10, а не 2Ч7, т.е. 14. Таким образом, если нет операций, заключенных в скобки, то сначала выполняются умножение и деление, а затем – сложение и вычитание. Если же мы хотим, чтобы сначала была выполнена операция сложения, то необходимо записать 2Ч(3 + 4) или просто 2(3 + 4). Используя закон дистрибутивности, можно раскрыть скобки: 2(3 + 4) = 2Ч3 + 2Ч4.

Если встречаются несколько пар скобок (круглых, прямоугольных, фигурных), то выполнять действия следует, начиная с внутренних. Например,

раскрывается последовательно следующим образом:

Правила, определяемые свойствами чисел, распространяются и на числа, представленные символами. Например,

здесь мы воспользовались законом дистрибутивности, а затем законами ассоциативности и коммутативности сложения. Аналогично,

В этом примере мы, помимо законов дистрибутивности, коммутативности и ассоциативности, воспользовались правилом, согласно которому произведение положительного и отрицательного чисел отрицательно, а произведение двух отрицательных чисел положительно.

Системы уравнений.

В некоторых задачах требуется найти одновременно несколько чисел, для чего необходимо решить несколько уравнений. Рассмотрим следующую задачу. Возраст Джона и удвоенный возраст Мэри вместе составляют 32 года, а если бы Джон был вдвое старше, а Мэри на четыре года младше, то им вместе было бы 24 года. Сколько лет Джону и Мэри? Обозначим возрасты Джона и Мэри буквами j и m соответственно. Тогда первое утверждение относительно возрастов можно записать в виде

а второе – в виде

или, после упрощения,

Когда два или больше чисел удовлетворяют двум, как в данном случае, или большему числу уравнений, говорят, что эти числа удовлетворяют системе уравнений. Существуют несколько методов решения систем уравнений. В нашей задаче левую и правую части уравнения (1) можно умножить на 2: