АЛГЕБРА

АЛГЕБРА, раздел элементарной математики, в котором арифметические операции производятся над числами, значения которых заранее не заданы. Преимущества алгебраических методов обусловлены использованием достаточно компактных символических систем, что внешне выглядит как самая характерная их черта. Термин «алгебра» применяется также для обозначения более абстрактных областей математики, в которых символы используются сходным образом, но не обязательно представляют числа. См. также АЛГЕБРА АБСТРАКТНАЯ; МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ.

Для представления чисел можно использовать любые символы, но чаще берут буквы латинского алфавита. Если x и y – два числа, то их сумма обозначается x + y, а разность x – y. Так как знак умножения ґ легко спутать с буквой x, в алгебре знак ґ используется редко; обычно произведение чисел x и y обозначается xЧy или просто xy. (Позиционные обозначения, используемые при записи целых чисел и означающие, например, что 23 – это не два умножить на три, а два десятка плюс три единицы, в алгебре не применяются.) Аналогично, если одно из встречающихся в задаче чисел указано явно или заранее известно, например число 2, то сумма двойки и любого не указанного заранее числа x алгебраически записывается в виде 2 + x или x + 2, а их произведение – как 2x. Множитель 2 в произведении 2x называют коэффициентом. Частные, как правило, записывают в виде дробей; допустима запись x ё y, но или x/y встречаются чаще. Символ = означает «равно», символ № – «не равно».

Например, пусть x – число, которое, будучи удвоенным, совпадает с самим собой, увеличенным на 3. Чтобы найти x (неизвестное), мы можем рассуждать на словах, как это делали первые математики, но гораздо эффективнее воспользоваться алгебраическими обозначениями. По условиям задачи требуется, чтобы

Такая запись равенства двух чисел называется уравнением. Пользуясь известными из арифметики правилами операций над числами, уравнение можно упростить. Числа 2x и x + 3 равны. Вычитая по x из каждого числа, мы снова получим равные числа, следовательно, x = 3, и задача решена. См. также АРИФМЕТИКА; ЧИСЛО.

Можно действовать другим способом. Перенесем x из правой части уравнения в левую часть с другим знаком, т.е. как -x. В результате получим уравнение

откуда x = 3.

Если два числа равны, будут равны также результаты их умножения на одно и то же число. Отсюда следует правило, согласно которому обе части уравнения можно умножать или делить на одно и то же число, однако запрещается деление на ноль. Например, из уравнения 3x = 6 мы заключаем, что x = 2. С другой стороны, если x = 1 и, следовательно, x – 1 = 0, мы не можем делить на x – 1 обе части уравнения x – 1 = 0, т.к. получим неверный результат 1 = 0.

Символы группировки.

Возможности алгебраических символов раскрываются в полной мере, когда необходимо записать более сложные уравнения. Если требуется изменить порядок выполнения операций, применяют символы группировки членов, главным образом круглые скобки (), квадратные скобки [] и фигурные скобки . В некоторых случаях порядок выполнения операций несуществен, например в выражении 2 + 3 + 4; не важно, прибавим ли мы сначала 2 к 3, а затем результат, равный 5, к 4, или сначала прибавим 3 к 4, а затем полученную сумму, равную 7, прибавим к 2. Объясняется это тем, что сложение чисел подчиняется закону ассоциативности. С другой стороны, смысл выражения 12 ё 2 ё 3 определен неоднозначно: выражение могло бы означать, что 12 следует разделить на 2 (и получить частное, равное 6), а затем полученный результат разделить на 3 и получить 2; или же что 2 следует разделить на 3 (и получить частное, равное 2/3), а затем 12 разделить на 2/3 и получить 18. Чтобы исключить различные толкования, мы можем записать исходное выражение в виде (12 ё 2) ё 3 в первом случае и как 12 ё (2 ё 3) – во втором. Согласно принятому соглашению, операции, указанные в скобках, выполняются первыми.