Также по теме

АЛГЕБРА АБСТРАКТНАЯ

АЛГЕБРА АБСТРАКТНАЯ (общая алгебра), раздел современной математики, выросший из исследования уравнений и теории чисел. Свою теперешнюю форму абстрактная алгебра начала приобретать лишь в двадцатом веке. Занимается главным образом изучением систем, элементы которых можно сочетать по различным правилам, получая в результате новые элементы, вне зависимости от конкретной природы самих элементов. В последние десятилетия абстрактная алгебра все глубже проникает в различные разделы математики, становясь неоценимым средством исследования в столь различных ее областях, как геометрия, топология, математический анализ и дифференциальные уравнения. Даже у социологов и аналитиков, работающих в сфере бизнеса, возникает необходимость в хотя бы поверхностном знакомстве с теорией матриц, являющейся частью абстрактной алгебры. Фактически в настоящее время сложилась такая ситуация, что наиболее важными являются не те достижения абстрактной алгебры, которые способствуют углублению наших знаний в самой этой области, а те, что предлагают новые средства исследования для других ветвей математики.

Абстрактная алгебра оказалась полезной не только в математике. Ее средства и методы используются всюду, где возникает потребность в организации больших объемов данных. Абстрактная алгебра нашла применение при решении широкого круга проблем – от проектирования электронных схем до составления суточных графиков работы нефтеперегонных заводов, позволяющих максимизировать прибыль. Кратко остановимся на некоторых основных алгебраических системах.

Группы.

Группой G называется множество, или набор, элементов a, b, ... (относительно их природы не делается никаких предположений), в котором задана операция, ставящая в соответствие каждой паре элементов a, b из G третий элемент, ab, называемый их произведением, причем

(i) (ab) c = a (bc), т.е. произведение элемента ab и еще одного элемента c из G равно произведению элементов a и bc;

(ii) для любой пары элементов a, b из G существуют элементы x и y из G, такие, что xa = b, ay = b.

(Такая операция обычно называется умножением.) Следует заметить, что условие (ii) означает возможность деления в группе. Действительно, в силу условий (i) и (ii) в G всегда существует такой элемент 1 (называемый единицей или единичным элементом), что 1a = a1 = a для всех элементов a группы G, и для каждого элемента a из G в G существует элемент 1/a, называемый его обратным, такой, что a (1/a) = (1/a) a = 1. Тогда мы можем записать x = b (1/a), y = (1/a) b. Различать элементы x и y необходимо, поскольку не предполагалось, что ab = ba. Следует ясно сознавать, что слова «умножение» и «деление» используются в теории групп просто для операции, ставящей в соответствие двум элементам a и b исходного множества третий элемент той же группы, для которого с тем же успехом можно было бы использовать символы a * b, a + b или a Щ b.

Таким образом, для того чтобы задать конкретную группу, нужно указать множество ее элементов, определить на нем операцию умножения и, наконец, проверить, что введенное умножение удовлетворяет условиям (i) и (ii). Приведем несколько примеров групп.

(A) Множество всех положительных и отрицательных целых чисел, включая нуль,..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,..., где в качестве произведения двух чисел берется их обычная сумма. Условие (i) – просто закон ассоциативности сложения a + (b + c) = (a + b) + c; что касается условия (ii), то можно положить x = y = ba.

(B) Множество всех отличных от нуля рациональных чисел (дробей p/q, где p и q – положительные или отрицательные целые числа) с произведением, определенным, как обычно: (p/q)(pў/qў) = ppў/qqў. Условие (i), как и в предыдущем примере, – это одно из основных свойств чисел, а условие (ii) удовлетворяется, если для a = p/q, b = pў/qў положить x = y = b : a = pўq/qўp.

(C) Более абстрактным примером может служить так называемая циклическая группа порядка n: множество ее элементов составляют n символов a0, a1, a2,..., an – 1, а произведение определяется соотношением akal = ar, где r = k + l, если k + l < n; если же k + l і n, то r – остаток от деления числа k + l на n. Условия (i) и (ii) проверяются без труда, a0 играет роль единичного элемента, а 1/ak = ank.

В этих трех примерах умножение коммутативно, т.е. ab = ba. Группы с таким умножением называются коммутативными или абелевыми в честь Н.Абеля (1802–1829).

(D) Пусть H – множество всех вращений плоскости вокруг некоторой неподвижной точки P, а также ее отражений относительно заданной прямой l, проходящей через P. Если a и b – два элемента из H, то под ab условимся понимать преобразование плоскости, получаемое при выполнении сначала преобразования b, а затем преобразования a. Взяв все возможные произведения элементов из H, мы получим группу G, называемую двумерной ортогональной группой. Слово «ортогональная» в названии группы указывает на то, что преобразования из G сохраняют прямые углы. Нетрудно видеть, что условие (i) выполняется; что же касается условия (ii), то если определить 1/a для любого элемента a из G как преобразование, которое уничтожает действие преобразования a, то x = (1/a) b, y = b (1/a) будут удовлетворять условию (ii). Эта группа неабелева. Действительно, пусть a – поворот на 45° вокруг точки P, а b – отражение относительно заданной прямой. Рассматривая, что произойдет с произвольно выбранной точкой, не лежащей на этой прямой, нетрудно убедиться, что ab ba.

(E) Наш последний пример – так называемая симметрическая группа, Sn, n-й степени. Это множество всех подстановок на n символах 1, 2, 3,..., n. В данном случае подстановка – это замена каждого целого числа i от 1 до n другим числом, f(i), также заключенным между 1 и n, причем так, что f(i) f(j), если i j. Под fЧg здесь понимается подстановка, которая получается при выполнении сначала подстановки g, а затем подстановки f. Условия (i) и (ii) проверяются так же, как мы проверяли их в примере (D). При n > 2 группа Sn неабелева. Например, в S3, если f и g заданы соотношениями f (1) = 2, f (2) = 3, f(3) = 1, g(1) = 3, g(2) = 2, g(3) = 1, то (fg)(1) = f(g(1)) = f(3) = 1, но (gf) (1) = g(2) = 2; поэтому fg gf.