Также по теме

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ – один из классов элементарных функций.

Функция у = cos х.

Если построить единичную окружность с центром в начале координат, и задать произвольное значение аргумента x0 и отсчитать от оси Ox угол x0, то этому углу на единичной окружности соответствует некоторая точка A (рис. 1) а ее проекцией на ось Ох будет точка М. Длина отрезка ОМ равна абсолютной величине абсциссы точки A. Данному значению аргумента x0 сопоставлено значение функции y = cos x0 как абсциссы точки А. Соответственно точка В (x0; у0) принадлежит графику функции у = cos х (рис. 2). Если точка А находится правее оси Оу, то косинус будет положителен, если же левее – отрицателен. Но в любом случае точка А не может покинуть окружность. Поэтому косинус лежит в пределах от –1 до 1:

–1 = cos x = 1.

      Рис. 1            Рис. 2

Дополнительный поворот на любой угол, кратный 2p, возвращает точку A на то же место. Поэтому функция у = cos x периодическая, ее период равен 2p:

cos (x + 2p) = cos x.

Если взять два значения аргумента, равные по абсолютной величине, но противоположные по знаку, x и –x, найти на окружности соответствующие точки Ax и А-x. Как видно на рис. 3 их проекцией на ось Ох является одна и та же точка М. Поэтому

cos (–x) = cos (x),

      Рис. 3

т.е. косинус – четная функция, f(–x) = f(x).

Значит, можно исследовать свойства функции y = cos х на отрезке [0, p], а затем учесть ее четность и периодичность.

При х = 0 точка А лежит на оси Ох, ее абсцисса равна 1, а потому cos 0 = 1. С увеличением х точка А передвигается по окружности вверх и влево, ее проекция, естественно, только влево, и при х = p/2 косинус становится равен 0. Точка A в этот момент поднимается на максимальную высоту, а затем продолжает двигаться влево, но уже снижаясь. Ее абсцисса все убывает, пока не достигнет наименьшего значения, равного –1 при х = p. Таким образом, на отрезке [0, p] функция у = cos х монотонно убывает от 1 до –1 (рис. 4, 5).

      Рис. 4

Рис. 5

Из четности косинуса следует, что на отрезке [–p, 0] функция монотонно возрастает от –1 до 1, принимая нулевое значение при х = p/2. Если взять несколько периодов, получится волнообразная кривая (рис. 6).

Рис. 6

Итак, функция y = cos x принимает нулевые значения в точках х = p/2 + kp, где k – любое целое число. Максимумы, равные 1, достигаются в точках х = 2kp, т.е. с шагом 2p, а минимумы, равные –1, в точках х = p + 2kp.

Функция y = sin х.

На единичной окружности углу x0 соответствует точка А (рис. 7), а ее проекцией на ось Оу будет точка N. Значение функции у0 = sin x0 определяется как ордината точки А. Точка В (угол x0, у0) принадлежит графику функции y = sin x (рис. 8). Ясно, что функция y = sin x периодическая, ее период равен 2p:

sin (x + 2p) = sin (x).

      Рис. 7            Рис. 8

Для двух значений аргумента, х и – , проекции соответствующих им точек Аx и А-x на ось Оу расположены симметрично относительно точки О. Поэтому

sin (–x) = –sin (x),

т.е. синус – функция нечетная, f(–x) = –f(x) (рис. 9).

      Рис. 9

Если точку A повернуть относительно точки О на угол p/2 против часовой стрелки (другими словами, если угол х увеличить на p/2), то ее ордината в новом положении будет равна абсциссе в старом. А значит,

sin (x + p/2) = cos x.

Иначе, синус – это косинус, «запоздавший» на p/2, поскольку любое значение косинуса «повторится» в синусе, когда аргумент возрастет на p/2. И чтобы построить график синуса, достаточно сдвинуть график косинуса на p/2 вправо (рис. 10). Чрезвычайно важное свойство синуса выражается равенством

.

      Рис. 10